** Étude d'une fonction (2)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=2\sin (3x)$ .

1. Montrer que la fonction $f$  est ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$  périodique.

2. Étudier la parité de la fonction $f$ .

On décide de restreindre l'intervalle d'étude de la fonction à $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$ .

3. a. On admet que $f$  est dérivable sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$ . C alculer $f^{\prime }(x)$ .
    b. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$  sur l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{6}}]$  puis sur $[{\displaystyle \frac{\pi }{6}};{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$ .
    c. Dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$  sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$ .

4. Représenter graphiquement la fonction $f$  sur l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$  puis sur $[-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};0]$  et  enfin sur $[-\pi ;\pi ]$ .